پیوستگی خودبخود همومورفیسم در جبرهای توپولوژیکی

آیا شرایط خاصی وجود دارد که در آن همومورفیسم بودن یک نگاشت میان جبرهای توپولوژیکی، شرطی کافی برای پیوستگی آن باشد. این موضوع در جبرهای باناخ بررسی شده است که مشهورترین نتیجه بدست آمده قضیه جانسون درباره پیوستگی هر همورمورفیسم از یک جبر باناخ نیمه ساده می باشد. در اینجا سعی بر این است که این مساله را از این جهت تعمیم دهیم که جبرهای نرم دار، جای خود را به جبرهای توپولوژیکی آنها لزوما توسط یک نرم تولید نشود، بلکه گردایه آی از شبه نرمها آنرا تولید کند به طوری که اگر در حالت خاص گردایه فوق تنها یک عضو داشته باشد، این عضو یک نرم بوده و جبر ما در این حالت همان جبر نرم دار باشد. بنابراین شرط جداکننده بودن در گردایه فوق ضروری می شود، یعنی به ازای هر عضو غیر صفر از جبر، شبه نرمی در گردایه باشد که آن را به صفر نبرد. جبر توپولوژیکی ساخته شده توسط چنین گردایه ای از شبه نرمها را یک جبر محدب ضربی موضعی گویند که در صورت یکنواخت بودن شبه نرمها آن را جبرتوپولوژیکی یکنواخت نامند. در این مقاله دو قضیه اساسی وجود دارد. در نخستین قضیه ثابت می شود که هر همومورفیسم از یک -q جبر محدب موضعی به یک جبر توپولوژیکی یکنواخت پیوسته است . اما قضیه دوم گوید که هر همورمورفیسم یک به یک از جبر توپولوژیکی یکنواخت ، کامل، بطور طیفی کراندار، منظم به روی یک زیر جبر چگال از یک -q جبر محدب ضربی موضعی نیمه ساده، باز است . شرایطی که در جبرهای فوق موجب پیوستگی همورموفیسم اول و باز بودن همومورفیسم دوم بطور خودبخود شده اند ضروری اند. این مطلب با ذکر چند مثال نقض برای حالتهایی که در هر یک تنها یکی از شرایط حذف گردیده، در انتهای مقاله وارد شده است .